Kalpsiz_
03-25-2008, 11:11
EŞİTSİZLİKLER
A. TANIM
f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.
Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
*
B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.
*
*
C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.
1)* D > 0 ise,
*
*
2)* D = 0 ise,
*
*
3)* D < 0 ise,
*
*
1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.
2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.
3) a < 0 ve D < 0 ise,
*** f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.
*
Ü* Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.
1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.
3. Adım : Sistemin işareti bulunur.
Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.
4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.
5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.
Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
*
Ü* Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.
*
(x + 1)100 = 0 ª x = – 1 çift katlı köktür.
(x – 1)99 = 0 ª x = 1 tek katlı köktür.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,
**** Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0
**** Q(x) = 0
sağlayan x değerleri alınmaz.
*
D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ
İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.
Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.
*
Ü* f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve
*** g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise
** sisteminin çözüm kümesi
** Ç1 Ç Ç2 dir.
*
E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.
D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.
*
F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN* KÖKLERİNİN BİR
*** GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI
f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.
A. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
olmak üzere,
şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik adı verilir. Eşitsizliği çözmek için f(x) = ax + b fonksiyonunun tablosu yapılır. Eşitsizliği sağlayan aralık bulunur.
f(x) = ax + b fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir.
ax + b = 0 denkleminin kökü dır.
B. KISA YOLDAN FONKSİYONUN İŞARETİNİN İNCELENMESİ
Kısalığından dolayı bütün eşitsizliklerin çözüm yolunu kolayca bulabileceğiniz bir yaklaşım vereceğiz.
f(x), çarpım veya bölüm fonksiyonu olsun.
Tablo oluştururken sırasıyla şu işlemler yapılır:
1) f(x) in payı ile paydasını sıfır yapan değerler bulunup sırasıyla tabloya yazılır.
2) (Eşitsizliğin tanımı gözönüne alınarak) pay ile paydayı sıfır yapan değerlerden tek sayıda olanlarına tek katlı kök, çift sayıda olanlarına çift katlı kök denir.
3) Her bileşenin en büyük dereceli terimlerinin işaretleri çarpılarak veya bölünerek f(x) in işareti bulunur.
4) Tablodaki en büyük kökün sağındaki kutuya f(x) in işareti yazılır.
5) Tek katlı köklerin soluna sağındaki işaretinin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
Kural
ax2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a > 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.
ax2 + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a < 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.
Uyarı
gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, içler dışlar çarpımı yapılamaz. Çünkü paydadaki f(x), h(x) ve m(x) in pozitif ya da negatif olduğunu bilmiyoruz.
Uyarı
gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, g(x) = 0 ın kökleri kesri tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilmez.
C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
ax2 + bx +c = 0 denkleminin köklerinin varlığını D, köklerinin işaretini belirler.
a × c < 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.
a × c > 0 ise denklemin denklemin köklerinin varlığı ile ilgili kesin bir şey söylenemez.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
A. TANIM
f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.
Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
*
B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.
*
*
C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.
1)* D > 0 ise,
*
*
2)* D = 0 ise,
*
*
3)* D < 0 ise,
*
*
1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.
2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.
3) a < 0 ve D < 0 ise,
*** f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.
*
Ü* Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.
1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.
3. Adım : Sistemin işareti bulunur.
Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.
4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.
5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.
Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
*
Ü* Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.
*
(x + 1)100 = 0 ª x = – 1 çift katlı köktür.
(x – 1)99 = 0 ª x = 1 tek katlı köktür.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,
**** Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0
**** Q(x) = 0
sağlayan x değerleri alınmaz.
*
D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ
İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.
Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.
*
Ü* f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve
*** g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise
** sisteminin çözüm kümesi
** Ç1 Ç Ç2 dir.
*
E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.
D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.
*
F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN* KÖKLERİNİN BİR
*** GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI
f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.
A. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
olmak üzere,
şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik adı verilir. Eşitsizliği çözmek için f(x) = ax + b fonksiyonunun tablosu yapılır. Eşitsizliği sağlayan aralık bulunur.
f(x) = ax + b fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir.
ax + b = 0 denkleminin kökü dır.
B. KISA YOLDAN FONKSİYONUN İŞARETİNİN İNCELENMESİ
Kısalığından dolayı bütün eşitsizliklerin çözüm yolunu kolayca bulabileceğiniz bir yaklaşım vereceğiz.
f(x), çarpım veya bölüm fonksiyonu olsun.
Tablo oluştururken sırasıyla şu işlemler yapılır:
1) f(x) in payı ile paydasını sıfır yapan değerler bulunup sırasıyla tabloya yazılır.
2) (Eşitsizliğin tanımı gözönüne alınarak) pay ile paydayı sıfır yapan değerlerden tek sayıda olanlarına tek katlı kök, çift sayıda olanlarına çift katlı kök denir.
3) Her bileşenin en büyük dereceli terimlerinin işaretleri çarpılarak veya bölünerek f(x) in işareti bulunur.
4) Tablodaki en büyük kökün sağındaki kutuya f(x) in işareti yazılır.
5) Tek katlı köklerin soluna sağındaki işaretinin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
Kural
ax2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a > 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.
ax2 + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a < 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.
Uyarı
gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, içler dışlar çarpımı yapılamaz. Çünkü paydadaki f(x), h(x) ve m(x) in pozitif ya da negatif olduğunu bilmiyoruz.
Uyarı
gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, g(x) = 0 ın kökleri kesri tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilmez.
C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
ax2 + bx +c = 0 denkleminin köklerinin varlığını D, köklerinin işaretini belirler.
a × c < 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.
a × c > 0 ise denklemin denklemin köklerinin varlığı ile ilgili kesin bir şey söylenemez.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.